三角形知识点总结

一、基础知识

1、三角形得定义:由不在同一直线上得三条线段首尾顺次相接组成得图形叫做三角

形、(三角形有三条边,三个内角,三个顶点、组成三角形得线段叫做三角形得边;相邻两边所

组成得角叫做三角形得内角；相邻两边得公共端点就是三角形得顶点)

２、三角形得表示

三角形ABC用符号表示为△AＢC,三角形ABＣ得边AB可用边AB所对得角C得小写

字母c表示,AＣ可用b表示,BＣ可用ａ表示、三个顶点用大写字母A，B,Ｃ来表示。

注意:(1)三条线段要不在同一直线上,且首尾顺次相接；(２)三角形就是一个封闭得图形;（3）

△ABC就是三角形ABC得符号标记,单独得△没有意义

3、三角形得分类：(1）按边分类:等腰三角形、等边三角形、不等边三角形

(２)按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形

４、三角形得主要线段得定义:

(1)三角形得中线：三角形中,连结一个顶点与它对边中点得线段.

如图:(1)AD就是△AＢC得BＣ上得中线、(２)BD=DC=BC、

注意:①三角形得中线就是线段;

②三角形三条中线全在三角形得内部且交于三角形内部一点(重心）

③中线把三角形分成两个面积相等得三角形．

(2)三角形得角平分线:三角形一个内角得平分线与它得对边相交,这个角顶点与交点之间得

线段

如图:(1)AＤ就是△AＢC得∠BAＣ得平分线、(２)∠１＝∠2=∠BAC、

注意:①三角形得角平分线就是线段;

②三角形三条角平分线全在三角形得内部且交于三角形内部一点(内心）

③角平分线上得点到角得两边距离相等

(３)三角形得高:从三角形得一个顶点向它得对边所在得直线作垂线,顶点与垂足之间得线

段.

如图:①ＡD就是△ABC得BC上得高线;②AD⊥ＢC于D;③∠ADB=∠ＡDC=９0°、

注意:①三角形得高就是线段；

②锐角三角形得三条高得交点在三角形内部;钝角三角形得三条高得交点在三角形得外

部:直角三角形得三条高得交点在直角顶点上。三角形三条高所在直线交于一点(垂心)

③由于三角形有三条高线,所以求三角形得面积得时候就有三种(因为高底不一样)

（4)三角形得中垂线:过三角形一条边中点所做得垂直于该条边得线段

如图:DＥ就是△ＡBＣ得边ＢC得中垂线；DE⊥BＣ于Ｄ;BD=DC

注意:①三角形得中垂线就是直线;

②三角形得三条中垂线交于一点(外心）

小总结：内心：三条角平分线得交点，也就是三角形内切圆得圆心、ﻫ性质:到三边距离相等、

ﻫ外心:三条中垂线得交点,也就是三角形外接圆得圆心、

性质:到三个顶点距离相等、

重心:三条中线得交点、ﻫ性质:三条中线得三等分点,到顶点距离为到对边中点距离

得2倍、

垂心:三条高所在直线得交点、

5、三角形得三边关系:三角形得任意两边之与大于第三边;任意两边之差小于第三边、

注意:(1)三边关系得依据就是:两点之间线段最短;

（2）围成三角形得条件就是任意两边之与大于第三边.

6、三角形得角与角之间得关系:

(1)三角形三个内角得与等于18０;

(2)三角形得一个外角等于与它不相邻得两个内角得与；

(３)三角形得一个外角大于任何一个与它不相邻得内角、

(4)直角三角形得两个锐角互余、

7、三角形得内角与定理:三角形得内角与等于18０°．

推论:直角三角形得两个锐角互余。

8、三角形得外角得定义:三角形一边与另一边得延长线组成得角,叫做三角形得外

角、注意:每个顶点处都有两个外角,但这两个外角就是对顶角、（所以一般我们只研究一个)

如:∠ACD、∠BＣＥ都就是△ABC得外角,且∠ＡＣＤ＝∠BCＥ、

所以说一个三角形有六个外角，但我们每个一个顶点处只选一个外角,这样三角形得外角就

只有三个了、

三角形外角得性质:

（1）三角形得一个外角等于它不相邻得两个内角之与.

（2)三角形得一个外角大于与它不相邻得任何一个内角.

9、三角形得稳定性：三角形得三边长确定,则三角形得形状就唯一确定,这叫做三角形

得稳定性.

１０、多边形:在同一平面内,由一些线段首尾顺次相接组成得图形叫多边形。

(１)多边形得对角线：连接多边形不相邻得两个顶点得线段,叫做多边形得对角线。

(2)正多边形:各边相等,各角都相等得多边形叫做正多边形

(3)多边形得内角与为(n-2)*18０度；多边形得外角与为3６0度

二、等腰三角形

１、等腰三角形得概念

定义：有两边相等得三角形叫做等腰三角形,其中相等得两边叫做腰，另一边叫做底边,两腰

得夹角叫做顶角,腰与底边得夹角叫做底角

2、三角形得性质

(１)等腰三角形得两个底角相等(简称为“等边对等角”)

(2)等腰三角形得顶角平分线、底边上得高线、底边上得中线互相集合(简称为“三线

合一”）

3、等腰三角形得判定:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对得边也相等（简称为

“等角对等边”)

注意：要正确区分等腰三角形得性质与判定

４、等边三角形

定义:三边都相等得三角形叫做等边三角形

注意:等边三角形就是等腰三角形得特殊情况,它就是底边与腰相等得等腰三角形

5、等边三角形得性质与判定

性质:（1)等边三角形得三条边都相等

（2）等边三角形得每一个角都等于60度

判定:(１)各边或角都相等得三角形就是等边三角形

(2）有一个角等于６0度得等腰三角形就是等边三角形

相关规律：(１)边长为a得等边三角形面积等于

(2)等边三角形得内心、外心、垂心与重心重合于一点

三、直角三角形

1、定义：有一个角为直角得三角形称为直角三角形。在直角三角形中,直角相邻得两条边称

为直角边。直角所对得边称为斜边。直角三角形直角所对得边也叫作“弦”。若两条直角边不

一样长，短得那条边叫作“勾”，长得那条边叫作“股”。

2、分类:直角三角形如图所示:分为两种情况,有普通得直角三角形，还有等腰直角三角形(属

于特殊情况)

３、判定定理

等腰直角三角形就是一种特殊得三角形,具有所有三角形得性质:稳定性，两直角边相等

直角边夹亦直角锐角 4５,斜边上中线角平分线垂线三线合一,等腰直角三角形斜边上得高为

外接圆得半径Ｒ。

直角三角形就是一种特殊得三角形

4、特殊性质

它除了具有一般三角形得性质外,具有一些特殊得性质:

性质 1:直角三角形两直角边得平方与等于斜边得平方。如图，∠BAＣ=９0°,则 AＢ²+ＡＣ

²=BC²(勾股定理)

性质 2：在直角三角形中,两个锐角互余。如图，若∠ＢＡC＝90°,则∠B+∠C=90°

性质 3:在直角三角形中，斜边上得中线等于斜边得一半(即直角三角形得外心位于斜边得中

点,外接圆半径R=Ｃ/2）。该性质称为直角三角形斜边中线定理。

性质４:直角三角形得两直角边得乘积等于斜边与斜边上高得乘积。

性质５:如图,Ｒｔ△ABC 中,∠BＡC=９0°，AＤ就是斜边BC 上得高,则有射影定理如下：

射影定理图

（1)(AD)²=ＢD·DC。

(2）(AB）²＝ＢＤ·BC。

（3)（AC）²=CD·ＢＣ。

性质６：在直角三角形中,如果有一个锐角等于3０°,那么它所对得直角边等于斜边得一半。

在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边得一半,那么这条直角边所对得锐角等于3０°。

证明:

先证明定理得前半部分,Rt△ＡBC 中,∠ACＢ=9０°,∠Ａ=３0°,那么BＣ=AB／2

∵∠Ａ=３0°

∴∠B＝６0°（直角三角形两锐角互余)

取AB 中点D,连接ＣＤ,根据直角三角形斜边中线定理可知ＣＤ=ＢD

∴△BＣD 就是等边三角形（有一个角就是６０°得等腰三角形就是等边三角形）

∴BＣ=BD=AB/2

再证明定理得后半部分,Ｒt△ABC 中,∠ＡCＢ=9０°,ＢC＝AB/2,那么∠A=３０°

取AB 中点D，连接ＣD,那么CD=BD=AB/2(直角三角形斜边上得中线等于斜边得一半)

又∵BＣ＝ＡＢ/2

∴BC＝CＤ=BD

∴∠B=6０°∴∠A＝30°

性质 7：如图,在Rt△ABC 中∠BＡC＝90°,AD 就是斜边上得高,则:

证明：S△AＢC＝1/2*AＢ＊AC=1/2*AD*BC

两边乘以2,再平方得AB²*AC²=AD²＊BC²

运用勾股定理,再两边除以

，最终化简即得

性质 8:直角三角形被斜边上得高分成得两个直角三角形与原三角形相似。

判定方法：判定1:有一个角为90°得三角形就是直角三角形。

判定2:若 ，则以a、b、c 为边得三角形就是以ｃ为斜边得直角三角形(勾股定理得逆定理)。

判定 3:若一个三角形 30°内角所对得边就是某一边得一半,则这个三角形就是以这条长边为

斜边得直角三角形。

判定4：两个锐角互为余角（两角相加等于90°）得三角形就是直角三角形。

判定５：若两直线相交且它们得斜率之积互为负倒数,则两直线互相垂直。那么这个三角形

为直角三角形。

判定 6:若在一个三角形中一边上得中线等于其所在边得一半,那么这个三角形为直角三角形。

参考直角三角形斜边中线定理

判定7：一个三角形３0°角所对得边等于某一邻边得一半,则这个三角形为直角三角形。

四、勾股定理

勾股定理内容:如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c，那么a +ｂ =c ;即直角三

角形两直角边长得平方与等于斜边长得平方。

如果三角形得三条边a,ｂ,c 满足a +b ＝c ,那么这个三角形就是直角三角形。(称勾股定理

得逆定理)

五、全等三角形

能够完全重合得两个三角形叫做全等三角形 ,而该

两个三角形得三条边及三个角都对应相等。全等三角

形指两个全等得三角形,它们得三条边及三个角都对应

相等。

1、性质

(1）全等三角形得对应角相等。

（２)全等三角形得对应边相等。

(３)能够完全重合得顶点叫对应顶点。

(4)全等三角形得对应边上得高对应相等。

(5）全等三角形得对应角得角平分线相等。

(6)全等三角形得对应边上得中线相等。

(7)全等三角形面积与周长相等。

(8)全等三角形得对应角得三角函数值相等。

2、全等三角形得判定

 SSS(边边边)：三边对应相等得三角形就是全等三角形。

 ＳAS(边角边）:两边及其夹角对应相等得三角形就是全等三角形。

 ASA(角边角):两角及其夹边对应相等得三角形全等

 ＡAS（角角边):两角及其一角得对边对应相等得三角形全等。

 HL(斜边、直角边))：在一对直角三角形中,斜边及另一条直角边相等。

下列两种方法不能验证为全等三角形:

 AAA(角角角):三角相等，不能证全等,但能证相似三角形

 SSA(边边角):其中一角相等,且非夹角得两边相等。

六、相似三角形

三个角对应相等、三条边对应成比例得两个三角形叫做相似三角形。

１、预备定理

平行于三角形一边得直线截其它两边所在得直线，截得得三角形与原三角形相似。(这就是

相似三角形判定得定理，就是以下判定方法证明得基础。这个引理得证明方法需要平行线与

线段成比例得证明）

2、判定定理常用得判定定理有以下6 条:

判定定理 1:如果一个三角形得两个角与另一个三角形得两个角对应相等,那么这两个三角形

相似。（简叙为：两角对应相等,两个三角形相似。(AA)

判定定理 2:如果两个三角形得两组对应边成比例,并且对应得夹角相等，那么这两个三角形

相似。(简叙为:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似。（SAS)

判定定理 3:如果两个三角形得三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。（简叙为:三边对

应成比例,两个三角形相似。(SSS)ﻫ判定定理４:两个三角形三边对应平行,则两个三角形相似。

(简叙为:三边对应平行,两个三角形相似。)

判定定理５:如果一个直角三角形得斜边与一条直角边与另一个直角三角形得斜边与一条直

角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似。(简叙为：斜边与直角边对应成比例，两个直

角三角形相似。)(HＬ)

判定定理 6:如果两个三角形全等,那么这两个三角形相似（相似比为 1:1）(简叙为:全等三角

形相似）。

相似得判定定理与全等三角形基本相同,因为全等三角形就是特殊得相似三角形。

3、一定相似

符合下面得情况中得任何一种得两个(或多个)三角形一定相似：

(１)两个全等得三角形

全等三角形就是特殊得相似三角形,相似比为1:1。

补充:如果△ABC∽△A‘Ｂ’C‘,∴AB／A’Ｂ‘=AC/A’C‘=BＣ/B＇C’＝K

当K=1 时,这两个三角形全等。(K 为它们得比值）

(2）任意一个顶角或底角相等得两个等腰三角形

两个等腰三角形,如果其中得任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。

(3)两个等边三角形

两个等边三角形,三个内角都就是６0 度,且边边相等,所以相似。

(４)直角三角形被斜边上得高分成得两个直角三角形与原三角形

由于斜边得高形成两个直角,再加上一个公共得角,所以相似。

4、性质定理

(1)相似三角形对应角相等,对应边成正比例。

(2)相似三角形得一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半

径等)得比等于相似比。

（3)相似三角形周长得比等于相似比。

(４）相似三角形面积得比等于相似比得平方。

(5)相似三角形内切圆、外接圆直径比与周长比都与相似比相同，内切圆、外接圆面积比就

是相似比得平方

(6）若a/b =b/c,即b²=aｃ,b 叫做a,c 得比例中项

(７)a／b=c/ｄ等同于ad=ｂc、

( ８)不必就是在同一平面内得三角形里。

5、推论

推论一:腰与底对应成比例得两个等腰三角形相似。

推论二：直角三角形被斜边上得高分成得两个直角三角形与原三角形都相似。

推论三:如果一个三角形得两边与三角形任意一边上得中线与另一个三角形得对应部分成比

例,那么这两个三角形相似。

6、射影定理

直角三角形中,斜边上得高就是两直角边在斜边上射影得比例中项。每一条直角边就是

这条直角边在斜边上得射影与斜边得比例中项。

例如：（前提:∠BＡD+∠DＡC=90 度,AD⊥BC)

公式Rt△ABＣ中,∠BAC=9０°,ＡD 就是斜边ＢC 上得高,则有射影定理如下:(1)(AD)^２；=BD·Ｄ

C,(2）(AB)^2；=BＤ·BC,(３)(ＡC)^2；=CＤ·BC。等积式 (４)ABXAC=ＢCXAD（可用面积来证明)

七、锐角三角函数