【知识梳理】

1.角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴

2.角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等

3.角平分线的判定：到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。

4.用尺规作角的角平分线（依据全等判定SSS）

作法：①在OA和OB上分别截取OD，OE使OD=OE；

②分别以D，E为圆心，以大于以大于DE/2的长为半径作弧，两弧在∠AOB内相交于点C；

③作射线OC，则OC就是∠AOB的角平分线.

【方法梳理】

1.已知角平分线

①证角相等或角度计算；

②证边相等；

③注意两类数学典型模型：

a.“角平分线+平行线=等腰△”

b.两条角平分线的夹角问题

Ⅰ.两内角角平分线的夹角：

Ⅱ.一内角和一外角平分线的夹角：

Ⅲ.两外角角平分线的夹角：

②证边相等；

2.证角平分线

①从定义的角度思考；

②从判定的角度思考；

3.常见辅助线

①翻折补线，利用角的对称性解题；

②补上垂线，利用角的性质或判定解题；

4.角平分线尺规作图的识别；

【典型例题】

例1.如图，在△ABE中，点C、D在边BE上，且AD平分∠CAE，4∠1=∠CAE，∠BAD=48°，求∠2=_____.

【解析】出现角度的和差倍分问题，最好的解题技巧是设未知数，再利用角平分线的定义及另两个条件，即可解答。设∠1=x，则∠CAE=4x，∵AD平分∠CAE，∴∠CAD=∠2=2x，∵∠BAD=48°，∴x+2x=48,∴x=16,∴∠2=32.

例2.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：△ADE≌△ADF.

【解析】利用角平分线的定义及性质，即可用“AAS”证全等.∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD=90，DE=DF，∴△ADE≌△ADF.

例3.如图,∠ABC,∠ACB的平分线相交于点F,过点F作DE//BC交AB于点D,交AC于点E,若AB=9cm,AC=8cm,求△ADE的周长.

【解析】数学典型模型：“角平分线+平行线=等腰△”∵BF是角平分线，∴∠DBF=∠CBF，∵DE//BC，∴∠DFB=∠CBF，∴∠DBF=∠DFB，∴DB=DF，同理可得：CE=EF，∴△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+DF+EF+EC=（AD+DB）+（EC+AE）=AB+AC=17cm

例4.如图,已知△ABC的面积为10， AD平分∠BAC且AD⊥BD于点D,则△ADC的面积=______.

【解析】延长BD交AC于点B，由于∠BAE是轴对称图形，AD是角平分线，易得△ABD≌△AED，可得D点是BE的中点，依“中线把三角形分成两个面积相等的小三角形”这一性质，可得出△ABD与△AED、△BCD与△ECD面积分别相等，所以△ABC的面积是△ADC面积的两倍，即可得出结论。延长BD交AC于点B，由题可知：∠BAD=∠EAD，AD=AD，∠ADB=∠ADE=90，∴△ADB≌△ADE，∴BD=ED，∴S△ABD=S△AED，S△BCD=S△ECD，∴S△ABC=2S△ADC，∴S△ADC=5.

例6.如右图，AD是△ABC中角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和38，则△EDF的面积为_____

【解析】作DM⊥AC，利用角平分线性质可得DF=DM，则易证△FED≌△MGD（HL）、△AFD≌△AMD（AAS），即可得出这些三角形的面积分别相等，再利用题目已知条件，进行等量代换，即可得出结论；

由题可知：DF=DM，AD=AD，∴Rt△FED≌Rt△MGD（HL）,∴S△FED=S△MGD,∵∠AFD=∠AMD，∠BAD=∠CAD，AD=AD，∴△AFD≌△AMD，∴S△AFD=S△AMD，设S△AFD=S△AMD=x，由S△DMG=50-x=S△EFD，∴S△AFD=38+（50-x）=88-x，∵S△AFD=S△AMD，∴88-x=x,∴x=44,∴△EDF的面积为50-44=6.

例7.如图，已知△ABC的周长是32，OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD=6，则△ABC的面积是___.

【解析】有角平分线，有一条垂线段，分别补上两条垂线段，就可以运用角平分线的性质求出各小三角形的高，再利用△ABC的面积等于△AOB、△BOC、△AOC的面积之和，列式即可得出△ABC的面积.

连接OA，分别作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，∵OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，OD⊥BC，∴OE=OD=OF=6，∴S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=AB×OE÷2+BC×OD÷2+AC×OF÷2

=3AB+3BC+3AC=3（AB+BC+AC）=3×32=96.

例8.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=20°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB于点M和N,再分别以M、N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于P,连接AP并延长交于点D,则∠ADB的度数为_____

【解析】由角平分线的定义、三角形内角和公式、三角形外角定理即可求解。

由图可知，AD是∠CAB的角平分线，∵∠C=90°,∠B=20°,∴∠CAB=70°，∴∠CAD=35°,∴∠ADB=∠C+∠CAD=125.

例9.如图，△ABC中，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC,AB于点M,N，再分别以点M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D,若AC:AB=3:4,△ACD的面积是21，则△ABD的面积是________

【解析】考查角平分线的性质、尺规作图、“等高看底”的面积方法。由作图痕迹可得，AP是∠CAB的角平分线，根据角平分线性质可得，点D到AC、AB的距离相等，即以AC为底的 △ACD与以AB为底的△ABD的高相等，根据“高相等时，两三角形的面积之比会等于它们的底边之比”可得：△ACD与△ABD的面积之比=AC：AB=3：4，∵△ACD的面积为21，∴△ABD的面积为28.

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