无论是大家口中学霸，还是学渣；你去问：能被2(或者能被3）整除的数满足什么特性，他都能倒背如流的回答，个位是0、2、3、4、8的能被2整除、各个位上数字之和能被3整除。比如说你问为啥这样？可能就要干掉一半的人了，再问这个问题里面包含哪些知识点，用到了啥数学方法，估计剩下的就是凤毛麟角了。

到底为什么这样？有哪些基础的知识点在支撑这个理论，除了判断数能否整除之外还有啥用处？这些知识点在不同学习阶段是怎么一步步阶梯提升的。

看下满足整除的特征：若a÷b=c（b≠0，且a,b,c均为整数），则称a是b的倍数，b是a的因数。（这句话注意正反是否都成立，如果从倍数和因数的角度去正反推，是否有漏洞），我们暂时不看反推的成立与否，单方向的话，这句话是成立的，那么这里会涉及到倍数和因数的概念，暂不展开讨论，在最后一个话题中去展开这部分。

那么说什么数能被2整除，那么这个数一定就是2的倍数，根据倍数的定义，那我们去推呗

2×0=0，2×1=2，2×2=4，2×3=6，2×4=8；2×5=10，2×6=12,2×7=14，2×8=16，2×9=18

我们知道一个数可以拆成个位数+十位数*10+百位数*100+千位数*100，从上面列出的2的乘法可以看到2x5=10说明10能被2整除，100、1000、10000依次类推肯定能被2整除，那么看这个数能否被2整除，就是看个位能否被2整除。那么我们就观察个位，观察上面列出的乘法可看出，从2×5开始，个位数与上面的开始呈现周期性变化，到此个位数满足的条件就看出来了0、2、4、6、8。这也是数学中非常重要的一个方法：找规律。

借助这个理论，可自行去思考下能被4整除的为啥是观察后两位，后两位要满足的为啥是00、04、08、12、16、20、24、28、32、36、40、44、48、52、56、60、64、68、72、76、80、84、88、92、96；

再延伸下：4=2x2=2^2，2=2^1的时候看单位数，4的时候是看后2位--十位和个位;8=2x2x2=2^3，观察的是后3位数--百位，十位和个位；16=2x2x2x2=2^4，观察的是后4位数-千位、百位、十位、个位如果感兴趣不妨自己去列列乘法，观察下。

顺着这个思路去看能被3整除的：3×0=0，3×1=3，3×3=9，3×4=12，3×5=15，3×6=18，3×7=21, 3×8=24，3×9=27；3×10=30，3×11=33，3×12=36，3×13=39，3×14=42，3×15=45，3×16=48，3×17=51，3×18=54，3×19=57......依然去看一个数分个位、十位、百位、千位，从上面观察看到个位上数字是0、3、9、2、5、8、1、4、7一个周期循环，数的十位10对于3而言不能整除但是9能，同理100不能，但99能，10=9+1，100=99+1，1000+999+1，所以如果是个两位数的话，即便个位不能被3整除，但10位上的这个1是需要被加起来的，同理百位、千位......,于是就有了上面能被3整除的数特征是各个位上数字之和能被3整除，则该数能被3整除。

这类问题如何出题呢？在小学时可能会单刀直入，直接给一些数字问是否能被3或者2整除，麻烦一点就是能被3*2或者3*2*a（a≠0的整数）整除，或者给一个数，个、十、百、千、万位上某一位数字没告诉，告诉满足被3*2整除，问这一位数字可能的数值是什么？无论是哪一类，充其量都是对这个点的直接考察，初中自然不会如此，那我们小学费那么大劲学这个干嘛，初中使用是悄无声息的，是不会告诉你要考察这个点，甚至说不用这个点也能做，它仅仅是个可有可无的辅助角色。比如说计算初中重头戏，有理数四则运算时，相乘除的两位数是xxx，粗心是大家的共同现象，而且不容易检查出来，如果在检查时使用逆应用，比如偶数*5，你的结果个位数不是0也不是5，那就一定是错了么。换一种思路会非常容易看出非常低级但又很常见的错误。

再说这个整除涉及到的概念及知识点，整除里面讲了因数、倍数，涉及到分解又可以联系到质数和合数；从因素倍数，我们可以想到最大公因数和最小公倍数，裂出来的因数是质数还是合数，这里就涉及到了因数和合数的概念。

比如24和36都能被12整除，那么12是24和36的一个公因式，如果对24和36做计算，我们是可以提取公因式12的，然后变成个位数2和3的计算，再做乘法；小学的计算提取公因数，初中计算提取公因式，溯源是同根。比如说我们让对6m+16n以及9m+24n进行运算求和，看到共同的公因式3m+8n；那么（6m+16n）*（9m+24n）=2*（3m+8n）*3*（3m+8n）=6（3m+8n）^2,利用完全平方公式展开，=6（9m^2+48mn+64n^2)=54m^2+288mn+384n^2;不然就按部就班的遵循多项式相乘的法则去计算，然后合并同类项（这里绝对算是易错点之一，经常合并合并着符号丢了，或者项少了，发下卷子说哎呀，这个我会呀），这个简单例子中尚且无法体现公因式的简便之处，但初中的计算绝不会这么简单，退一步讲作为一个检查手段之一，也是很酷的，毕竟技多不压身呀，实际上在初中计算中，提取公因式绝对算得上排在前列的简便算法。

小学是把一个数分解成质数相乘的形式，比如90=2x3x3x5，初中如果用式子取代数，那就是因式分解，把它融合到整式计算中。因式分解在初中学习中那可是占据相当一部分分量的。

如果我们进一步延伸，如果把这个表达式用一个变量来替换，那么整体是不是就是函数的概念了；如果这个变量变成幂的形式，那岂不就是反比例函数（如果指数不为0）和多次（指数>1)函数了，如果表达式是一个幂的表达式，如果幂的指数再按照一定规律变化，就是到了初中的等比数列；再说我们把数字换成表达式，换成自变量这就是数学中典型的换元法。

如果说小学初中学习比作一棵大树，那么小学就是树上一个一个孤零零的果子，初中那就是有枝丫树干树杈的枝干，果子隐在树叶下，基础知识那就是深埋地下的根系。总之就是任何阶段的学习都不是孤立的，也不是无用的，当前阶段都是以后阶段的表，后面都是当前知识的深层次的因。小学的基础知识就几部分，数、方程、几何知识，这里任何一部分在初中都是一个大的延伸，这里仅以数的一个概念来阐述小学和初中的关联，其他不再赘述，但学习是相通的，学习中可多一些遐想，多一些脑补，毕竟猜测也是数学方法之一。