1就是1是真的吗？数学是摆事实、讲道理的学科，教学过程中，不怕学生年龄小，就怕他们没思考。学生的思考可以如何培养呢？

走进“素养”，认识它的真面目

2022年版《义务教育数学课程标准》立足学生的核心素养发展，体现了数学课程育人的价值。在教学过程中，我们该如何理解“素养”呢？

2013年，我在参加北师大小学数学高研班学习的时候，做过一个相关研究。词典里将“平日的修养”归结为素养，这个解释告诉我们，素养是后天习得的。按照这个释义逻辑，我把数学素养解释为“通过平日的数学学习而习得的修养”。

平日的数学学习中，孩子们学的是既定事实的数学知识。比如1就是1，1+1=2、1-1=0、1x1=1、1÷1=1等。而习的往往是数学的思维方法，包括研究方法、推理方法以及分析归纳问题的方法等，通过这些方法学生学会理解1+1为什么等于2，1-1为什么是0，1x1、1÷1为什么得数还是1。过程中，我们希望学生能拥有数学的精神，即一种理性的思辨创新能力，一种建立在证据和逻辑推理基础上的思维方式。

素养的内涵远比知识和技能更加丰富，是对育人更上位的表达。

就像人的身体需要摄入各种食物，不论是山珍海味还是五谷杂粮，虽然经过新陈代谢之后，大多都被排出体外了，但留下来的营养却支撑着我们的身体运转。

数学学习亦是如此，完成学习之后，即便我们遗忘了数学公式，遗忘了三角函数，但是数学的精神、数学的理性以及审变的能力，会融入到我们的身体里，丰富我们的思考方式，成为体验生命、认识世界的重要能力之一。

数感与量感，让数学立体起来

如何才能帮助学生学好数学呢？结合数感与量感的培养与形成，素养应该是学生通过对现实生活中事物的大小以及可测属性的直观感知以后，形成的用数学眼光和数学思维方式来解读世界、认识世界的一种能力。

在小学阶段，学生的数感主要表现在三个方面：

1.能够在真实的情境中理解数的意义，能用数表示物体的个数或事物的顺序；

2.能在简单的真实情境中进行估算，作出合理判断；

3.能初步体会并表达事物蕴含的简单数量的规律。

量感也表现在三个方面：

1.知道度量的意义，能够理解统一度量单位的必要性；

2.会针对真实情境选择合适的度量单位进行度量，会在同一个度量方法下进行不同单位的换算；

3.初步感知度量工具和方法引起的误差，能合理得到或估计度量的结果。

很显然，数感主要是对数与数量、数量关系及预算结果的直接感悟。量感则主要是对事物的可测属性以及大小关系的直接感知。建立数感有助于学生理解数的意义和数量关系，感受数学表达的简洁与精准。建立量感则有助于学生养成用定量的方法认识和解决问题的习惯，增强好奇心。

所以，培养学生的数感、量感，是学生形成数学抽象能力和应用意识的经验基础。“数感”中的“数”是对数量的抽象，反映的是数量的大与小；数量则是对现实生活中事物的抽象，反映的是数量的多与少。其核心成分，都是对数量关系的感悟与理解。

在小学阶段，数量关系主要包括数量之间的对应关系、相等关系和大小关系。我的理解是，数量关系是数与量、数学内部之间的关系。

比如两个小朋友、两架飞机、两千克苹果、两米的跳绳、两元的本子，抽象以后都可以用数字2来表示。六只羊、六支笔、六棵树、六朵云、六张桌子抽象以后都可以用数字6来表示。对同一个事物，从数的累加来看，6就是2不断累加得到的，所以数是有大小之分的，6比2大，2比6小。

从数的抽象过程来看，数字2和数字6又是可以独立抽象出来的。数字2可以直接从两只羊中抽象出来，数字 6可以直接从6只羊中抽象出来。数量关系让6和2之间不仅有了对应关系，还有了和差倍比的关系。

从中我们可以知道6和2相差4，6是2的3倍，2是6的1/3，6比2多200%，2比6少67%等信息。如果给这些信息赋予一定的现实背景，我们还能知道这里面200%、67%具体的数量是多少。

就量感而言，“量”贯穿于一切事物和科学技术领域，我们对事物做精准、定量的刻画，有助于我们对它的本质做出深刻地认识。我对量感的认识是，量感首先是对量的感觉。因此，它具有很强的个性特征，反映的是个体通过视觉或触觉对物体的一种感知，也就是我们常说的第一感觉或者第一印象。

比如我们看到一个球，首先就会想到用形状、轻重来描述它。如果我们去拍两下，就会用充气量来描述它；看到一本书，我们会用厚薄来描述它，翻阅之后会用字号来描述它；看见一根绳子，起初会用长、短、粗、细来描述它，拉一拉之后会用弹性和松紧来描述它；看见一辆车擦身而过，会用速度来描述他，甚至可以根据速度来预估它的安全性……

影响这些感知的因素是多方面的，有知识经验也有生活经验。走同一条路，有的人会感觉路很长，有的人却觉得路很短；喝同一杯水，有的人会觉得烫，有的人却觉得温度正合适；抱同一摞作业本，有人会感觉很重，有人却感觉可以再垒几本。

就算是同一个人，爬同样高的楼层也会有不同的感觉，有时候会觉得很轻松，有时候却会感觉很疲累。这种感觉就是个体知觉、触觉和体能的一种综合感反应。

既然如此，数感和量感该如何培养呢？

三“纵”交错，认知教学困境

从量的表达结构上看，量的多少通常都是采用数+单位的结构形式。如表示长度可以是1厘米、1分米、1米；表示面积可以是1平方厘米、1平方分米、1平方米；表示质量可以是1克、1千克、1吨；表示时间时可以是1分、1小时、1年等。

数+单位的形式把数量之间的关系问题转为了纯粹的数之间的运算问题，把具有现实意义的量的变化问题也抽象为数之间的运算问题，这也是现实问题数学化的一种思想。

所以，相对于数感，量感的教学会很困难。主要体现在以下三个方面：

1.纵观教材

在编写体例上，数与量一直都是各设章节的。认识数是一个单元，认识量又是一个单元。

比如教学过程中的长度单位、时间单位、质量单位、货币单位，都是独门独户各成一章的。即便课程内容结构化了，这部分的内也被独立出来，移到了综合与实践这个板块中，通过主题活动的形式来学习——在《欢乐购物街》中认识人民币单位，在《时间在哪里》中认识时间单位，在《身体上的尺子》中认识长度单位，学习周长、面积、体积、容积等内容，则需要去《图形与几何》板块。

与此同时，在数与量的编写篇幅上，教材对精准计算和估算的内容远比用量感来估算和估测的内容多得多。

2.纵观学情

量的概念本身就具有一定的抽象性，而小学生的思维正处于由形象思维向抽象思维的过渡阶段，这给量的理解和感悟带来了很大的困难。与班级的人数、自己的身高和体重等知识和概念相比，让学生理解1万米有多高，1吨有多重非常困难。因此，在面对多位数计算的解算，单位换算比大小，尤其是选择单位时，学生最容易出错的地方不外乎就是计数单位和计量单位的运用。

3.纵观教学

有三种困境：

（1）大数不容易找到直观模型，这就导致即便老师给了时间，让学生闭上眼睛想一想1万个小方块有多少，1平方千米有多大，但是终究太抽象，不容易想。

（2）因为很难想，所以即便学生想到了，老师也没有办法了解学生想的是否靠谱。因此，课堂上，有的老师会选择放弃让学生想象的环节，导致学生更加缺少想象力。

（3）受传统教学的影响，老师自身对数感和量感的也没有形成足够的认识高度，教学环节上缺少有效教学的经验支撑。

从整体上来看，“感”是人的知觉对物体的一种感知，“悟”是人的大脑对物体一种定量的思考和刻画。我自己观察下来，相对于数的感悟，学生对量的感悟普遍不太好；相对于小单位，学生对大单位的感悟普遍不太好；相对于小数字+大单位，学生对大数字+小单位的感悟普遍不太好；相对于长度，学生对面积、体积、容积的感悟普遍不太好。

所以，2022年版课程标准增加了量感这一核心素养，这对小学阶段的学习是非常有必要的。

“四重四建”，抵达理想教育现场

“四重四建”是我在2022年版课程方案和标准之下，为帮助老师们将核心素养落实到课堂教学中而提出的一种教学设计策略。能否有明显成效，还需要不断地实践和完善。分享给各位老师，希望能得到大家在智慧和行动上的双重支持——以高站位来设计教学活动，以低起点来落实核心素养。

具体而言，“四重四建”分别是基于儿童心理结构中的浅层、表层、深层和外层。

❀ 通过重视感知和识别，建立表象。以图像、实物、情境直观操作的方法，体现数与量的具体化，感受数的简洁性和表达力，以及数与量的对应关系，以此培养学生的数学眼光。

❀ 通过重视理解与创造，建构意蕴。以语言、数字、符号等方式，体现数与量的形式化，感受数有大小，量有多少，数是离散量的感知，量是连续量的感知，培养学生的抽象能力。

❀ 通过重视推理与联想，建明内涵。感受数与量的组成和运算，体现数与量的逻辑化。感受数是抽象的，是可以脱离背景的不带计量单位的。而量却是具体的，是不能没有计量单位的。以此培养学生的数学思考。

❀ 通过重视拓展与应用，建类表达。感受数与量的应用价值，体现数与量的规范化。培养学生举一反三、融会贯通的应用意识。引导学生养成用定量的方法，认识和解决问题的习惯。

需要特别强调的是，数感和量感的建立，不是一蹴而成的。作为老师，教学过程中，我们在基于、结合生活经验的同时，又要做到高于、抽离生活经验的多途径引导。努力让每个学生都能在原有数感与量感的基础上，学会自主纠偏，让个人感觉靠近恒定标准（因为只有接近标准量的数感、量感，才是真正意义上的数感、量感的教学）。

比如面对一段长度为一千米的笔直道路，我们不能让学生仅凭体能感来估测，还应该帮助他们借助对十米、百米的感知，以及近大远小的透视经验，通过累加量化的思考和运算方法得出这个答案。这也是我们在数感和量感的教学中，应该用力的地方，即把感和物结合起来，设计体验活动。

当然，我们也应该清楚，每个人的数感和量感，并非是一成不变的。随着年龄的增加，知识和生活经验的丰富，体能的增强，个人的数感和量感也会发生相应的变化。

但这并不意味着在教的过程中，教师不需要花更多的时间、投入更多的精力来设计一系列的体验活动。在我看来，体验活动本身就是在帮助学生积累对数与量精准估测的经验，就是在培养学生的数感和量感。

或许经过一段时间的体验活动，学生对于一吨有多重依然很难想象。但是我们仍需要通过一系列真实的活动，为孩子们核心素养的养成培土育苗，为他们留下丰富的学习体验和活动经验，让这份沉甸甸的体验和经验，成为孩子们童年里一份美好的成长记忆。

作者 |杨薪意（成都市行知小学校）

来源 |星教师根据作者在第九届中国教育创新年会上的演讲整理

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教育科学出版社

2021年10月

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